11.1.2 不等式的性质

改编自： 人教版《义务教育教科书·数学》八年级第十一章 11.1.2。上一课是 11.1.1 不等式及其解集。

有些简单不等式可以直接看出解集。例如 x + 4 > 10 的解集是 x > 6，2x < 6 的解集是 x < 3。比较复杂的不等式，例如 (5x + 1)/6 − 2 > (x − 5)/4，就不能直接看出来。解不等式要依据不等式的性质，就像解方程要依据等式的性质。

不等式和等式都在刻画大小关系，所以可以类比等式的性质来研究不等式的性质。

两个基本事实

可以借助数轴理解：

交换不等式两边，不等号的方向改变。如果 a > b，那么 b < a。例如由 5 > x，可得 x < 5。
不等关系可以传递。如果 a > b，并且 b > c，那么 a > c。例如由 y > x，x > −3，可得 y > −3。

性质 1：两边加或减同一个数

等式两边加或减同一个数，结果仍相等。不等式是不是也这样？

可以发现：不等式两边加同一个数，不等号的方向不变。减法可以看成加上相反数，所以两边减去同一个数，方向也不变。换一些别的数，这个规律仍然成立。

不等式的性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

如果 a > b，那么 a ± c > b ± c。

性质 2 和性质 3：两边乘或除以同一个不为 0 的数

不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变。不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变。

除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数，倒数和它的符号相同，所以除法也适用这个规律。

如果两边都乘 0，两边都变成 0，不再保持原来的不等关系。

不等式的性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果 a > b，并且 c > 0，那么 ac > bc（或 a/c > b/c）。

不等式的性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果 a > b，并且 c < 0，那么 ac < bc（或 a/c < b/c）。

性质 2 和性质 3 的区别，只在于乘数是正数还是负数。和等式相比：等式两边乘或除以同一个不为 0 的数，等号不变；不等式则要看这个数是正还是负。

三条性质

解不等式时就用这三条。

Quiz

认一认性质

1 / 2

已知 a > b。比较 a − 4 与 b − 4，应依据哪一条性质？

Pick an answer to see if you are right.

根据不等式的性质填空

第（3）问是样子：先做题里说的那一步，再把得到的不等式和所用的性质放进空位。

例 2

已知 a > b，比较下列两个式子的大小，并说明依据。

(1) a + 3 与 b + 3。因为 a > b，所以 a + 3 > b + 3（性质 1）。

(2) −2a 与 −2b。因为 a > b，所以 −2a < −2b（性质 3）。

练习

1. 已知 p > q，用「>」或「<」填空

(1) p + 1/2 ____ q + 1/2，依据性质 1，填 >。

(2) p − 2 ____ q − 2，依据性质 1，填 >。

(3) p + 2m ____ q + 2m，两边加的是同一个式子，依据性质 1，填 >。

(4) −5p ____ −5q，两边乘 −5，依据性质 3，填 <。

(5) p/3 ____ q/3，两边除以 3，依据性质 2，填 >。

(6) 4p + 1 ____ 4q + 1，先乘正数 4，再加 1，方向都不变，填 >。

2. 已知 m > 3，写出取值范围

(1) m + 5 > 8。

(2) m/6 > 1/2。

(3) −2m < −6。

(4) 3m − 4 > 5。

3. 已知 a < b，用「<」或「>」填空

自测

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