10.4 三元一次方程组的解法

三个未知数、三个方程。核心策略：先消去一个未知数，化成已经会解的二元一次方程组，再回代求出第三个。

三元一次方程组的解是同时满足三个方程的一组值 $(x, y, z)$。常用手段仍是代入与加减消元，只是多走一步「降元」。

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一、链式代入（书题风格 1）

若某一式只含两个未知数、另一式又把其中一个用第三个表示，可以一路代入。

书题目

$$\begin{cases} x - 2y = -9 \\ y - z = 3 \\ x + 2z = 47 \end{cases}$$

由 ② 得 $y = z + 3$，由 ③ 得 $x = 47 - 2z$，代入 ①：

$$(47 - 2z) - 2(z + 3) = -9 \implies 41 - 4z = -9 \implies z = \dfrac{25}{2}$$

于是 $y = \dfrac{31}{2}$，$x = 22$。

链式代入：解下列三元一次方程组

先从「短方程」解出中间量，再代入含三个字母的式子

(1)$\displaystyle\begin{cases} x - 3y = -36 \\ y - z = 5 \\ x + 3z = 39 \end{cases}$

由 ② 得 $y = z + 5$。

由 ③ 得 $x = 39 - 3z$。

代入 ① $x - 3y = -36$：

$$(39 - 3z) - 3(z + 5) = -36$$

$$39 - 3z - 3z - 15 = -36$$

$$24 - 6z = -36$$

$$6z = 60$$

解得 $z = 10$，再得 $y = 15$，$x = 9$。

检验：把三值分别代入 ①②③，左右两边应相等。

$x = 9$，$y = 15$，$z = 10$

(2)$\displaystyle\begin{cases} x - 3y = -\dfrac{33}{2} \\ y - z = 4 \\ x + 2z = 23 \end{cases}$

由 ② 得 $y = z + 4$。

由 ③ 得 $x = 23 - 2z$。

代入 ① $x - 3y = -\dfrac{33}{2}$：

$$(23 - 2z) - 3(z + 4) = -16.5$$

$$23 - 2z - 3z - 12 = -16.5$$

$$11 - 5z = -16.5$$

$$5z = 27.5$$

解得 $z = \dfrac{11}{2}$，再得 $y = \dfrac{19}{2}$，$x = 12$。

检验：把三值分别代入 ①②③，左右两边应相等。

$x = 12$，$y = \dfrac{19}{2}$，$z = \dfrac{11}{2}$

(3)$\displaystyle\begin{cases} x - 3y = 1 \\ y - z = 1 \\ x + z = 16 \end{cases}$

由 ② 得 $y = z + 1$。

由 ③ 得 $x = 16 - 1z$。

代入 ① $x - 3y = 1$：

$$(16 - 1z) - 3(z + 1) = 1$$

$$16 - 1z - 3z - 3 = 1$$

$$13 - 4z = 1$$

$$4z = 12$$

解得 $z = 3$，再得 $y = 4$，$x = 13$。

检验：把三值分别代入 ①②③，左右两边应相等。

$x = 13$，$y = 4$，$z = 3$

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二、某一式缺少一个未知数（书题风格 2）

若 ① 里没有 $y$，就先用另外两式消去 $y$，得到只含 $x$、$z$ 的方程，再与 ① 联立。

书题目

$$\begin{cases} 4x - 9z = 17 \\ 3x + y + 15z = 18 \\ x + 2y + 3z = 2 \end{cases}$$

② × 2 − ③ 消去 $y$ 得 $5x + 27z = 34$，与 ① 联立得 $x = 5$，$z = \dfrac{1}{3}$，再代回得 $y = -2$。

缺元优先：解下列三元一次方程组

先盯住「少了一个字母」的方程，用另外两式消掉那个字母

(1)$\displaystyle\begin{cases} 5x - 9z = -7 \\ 2x + y + 16z = \dfrac{82}{3} \\ x + 3y + z = \dfrac{43}{3} \end{cases}$

① 中没有 $y$。先用 ②、③ 消去 $y$：② $\times 3$ 与 ③ $\times 1$ 相减（使 y 系数相同）。

得到只含 $x$、$z$ 的方程，再与 ① 联立。

解出 $x = 1$，$z = \dfrac{4}{3}$，再代回 ③ 得 $y = 4$。

三值代回原方程组检验。

$x = 1$，$y = 4$，$z = \dfrac{4}{3}$

(2)$\displaystyle\begin{cases} 5x - 2z = 24 \\ 4x + y + 10z = -1 \\ x + 2y + 2z = 6 \end{cases}$

① 中没有 $y$。先用 ②、③ 消去 $y$：② $\times 2$ 与 ③ $\times 1$ 相减（使 y 系数相同）。

得到只含 $x$、$z$ 的方程，再与 ① 联立。

解出 $x = 4$，$z = -2$，再代回 ③ 得 $y = 3$。

三值代回原方程组检验。

$x = 4$，$y = 3$，$z = -2$

(3)$\displaystyle\begin{cases} 5x - 6z = 13 \\ 2x + y + 6z = -10 \\ x + 3y + 4z = -\dfrac{49}{3} \end{cases}$

① 中没有 $y$。先用 ②、③ 消去 $y$：② $\times 3$ 与 ③ $\times 1$ 相减（使 y 系数相同）。

得到只含 $x$、$z$ 的方程，再与 ① 联立。

解出 $x = 1$，$z = -\dfrac{4}{3}$，再代回 ③ 得 $y = -4$。

三值代回原方程组检验。

$x = 1$，$y = -4$，$z = -\dfrac{4}{3}$

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三、两两之和（书题风格 3）

形如 $x+y=a$，$y+z=b$，$z+x=c$：三式相加立刻得到 $2(x+y+z)$。

书题目

$$\begin{cases} x + y = 3 \\ y + z = 4 \\ z + x = 5 \end{cases}$$

三式相加：$2(x+y+z)=12$ ⇒ $x+y+z=6$，再分别减去各式得 $z=3$，$x=2$，$y=1$。

两两之和：解下列三元一次方程组

三式相加 → 求总和 → 用「总和 − 一式」得第三个未知数

(1)$\displaystyle\begin{cases} x + y = 13 \\ y + z = 14 \\ z + x = 13 \end{cases}$

三式相加：左边每个未知数出现两次。

$$2(x + y + z) = 40$$

$x + y + z = 20$

用总和分别减去各式：

$$z = (x+y+z) - (x+y) = 20 - 13 = 7$$

$$x = (x+y+z) - (y+z) = 20 - 14 = 6$$

$$y = (x+y+z) - (z+x) = 20 - 13 = 7$$

$x = 6$，$y = 7$，$z = 7$

(2)$\displaystyle\begin{cases} x + y = 18 \\ y + z = 15 \\ z + x = 15 \end{cases}$

三式相加：左边每个未知数出现两次。

$$2(x + y + z) = 48$$

$x + y + z = 24$

用总和分别减去各式：

$$z = (x+y+z) - (x+y) = 24 - 18 = 6$$

$$x = (x+y+z) - (y+z) = 24 - 15 = 9$$

$$y = (x+y+z) - (z+x) = 24 - 15 = 9$$

$x = 9$，$y = 9$，$z = 6$

(3)$\displaystyle\begin{cases} x + y = 8 \\ y + z = 15 \\ z + x = 11 \end{cases}$

三式相加：左边每个未知数出现两次。

$$2(x + y + z) = 34$$

$x + y + z = 17$

用总和分别减去各式：

$$z = (x+y+z) - (x+y) = 17 - 8 = 9$$

$$x = (x+y+z) - (y+z) = 17 - 15 = 2$$

$$y = (x+y+z) - (z+x) = 17 - 11 = 6$$

$x = 2$，$y = 6$，$z = 9$

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四、一般情形：消元降为二元（书题风格 4）

三个方程都含 $x,y,z$ 时：选一个未知数（常选系数简单的），用两对方程各消去它一次，得到二元一次方程组。

书题目

$$\begin{cases} 3x - y + z = 4 \\ 2x + 3y - z = 12 \\ x + y + z = 6 \end{cases}$$

① + ② 消去 $z$ 得 $5x + 2y = 16$；再与其它式消去 $z$，解出 $x=2$，$y=3$，代回得 $z=1$。

加减消元：解下列三元一次方程组

两两消去同一未知数 → 二元一次方程组 → 回代

(1)$\displaystyle\begin{cases} -3x + 4y + 4z = -11 \\ 2x + 4y + 4z = 14 \\ -x + 4y - 2z = 5 \end{cases}$

先消去 $z$：① $\times 1$ 与 ② $\times 1$ 相减，得

$$-5x = -25$$

① $\times 1$ 与 ③ $\times 2$ 相加，得

$$-5x + 12y = -1$$

得到关于 $x$、$y$ 的二元一次方程组，解得

$x = 5$

$y = 2$

再代回 ③（或任一式）得 $z = -1$。

三值代回原方程组检验。

$x = 5$，$y = 2$，$z = -1$

(2)$\displaystyle\begin{cases} -3x - y - z = -4 \\ x + 3y - z = -8 \\ -2x + 2y + 4z = -18 \end{cases}$

先消去 $z$：① $\times 1$ 与 ② $\times 1$ 相减，得

$$-4x - 4y = 4$$

① $\times 4$ 与 ③ $\times 1$ 相加，得

$$-14x - 2y = -34$$

得到关于 $x$、$y$ 的二元一次方程组，解得

$x = 3$

$y = -4$

再代回 ③（或任一式）得 $z = -1$。

三值代回原方程组检验。

$x = 3$，$y = -4$，$z = -1$

(3)$\displaystyle\begin{cases} -2x + y + 4z = -13 \\ -2x + 2y + 3z = -10 \\ 3x + 2y + 3z = -20 \end{cases}$

先消去 $z$：① $\times 3$ 与 ② $\times 4$ 相减，得

$$2x - 5y = 1$$

① $\times 3$ 与 ③ $\times 4$ 相减，得

$$-18x - 5y = 41$$

得到关于 $x$、$y$ 的二元一次方程组，解得

$x = -2$

$y = -1$

再代回 ③（或任一式）得 $z = -4$。

三值代回原方程组检验。

$x = -2$，$y = -1$，$z = -4$

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综合练习

四种结构混在一起，先判断该用「链式代入 / 缺元 / 求和 / 一般消元」中的哪一种。

解下列三元一次方程组

书题目四种风格混合；换一批可反复练

(1)$\displaystyle\begin{cases} -3x + 2y + 4z = 2 \\ -x + 2y + z = 11 \\ x + 3y + 3z = 33 \end{cases}$

先消去 $z$：① $\times 1$ 与 ② $\times 4$ 相减，得

$$x - 6y = -42$$

① $\times 3$ 与 ③ $\times 4$ 相减，得

$$-13x - 6y = -126$$

得到关于 $x$、$y$ 的二元一次方程组，解得

$x = 6$

$y = 8$

再代回 ③（或任一式）得 $z = 1$。

三值代回原方程组检验。

$x = 6$，$y = 8$，$z = 1$

(2)$\displaystyle\begin{cases} 3x + 4y - 3z = -17 \\ -3x - 2y + 2z = 11 \\ x - 3y + 4z = 13 \end{cases}$

先消去 $z$：① $\times 2$ 与 ② $\times 3$ 相加，得

$$-3x + 2y = -1$$

① $\times 4$ 与 ③ $\times 3$ 相加，得

$$15x + 7y = -29$$

得到关于 $x$、$y$ 的二元一次方程组，解得

$x = -1$

$y = -2$

再代回 ③（或任一式）得 $z = 2$。

三值代回原方程组检验。

$x = -1$，$y = -2$，$z = 2$

(3)$\displaystyle\begin{cases} 2x - 3z = 12 \\ 4x + y + 12z = -16 \\ x + y + 5z = -11 \end{cases}$

① 中没有 $y$。先用 ②、③ 消去 $y$：② $\times 1$ 与 ③ 相减（使 y 系数相同）。

得到只含 $x$、$z$ 的方程，再与 ① 联立。

解出 $x = 3$，$z = -2$，再代回 ③ 得 $y = -4$。

三值代回原方程组检验。

$x = 3$，$y = -4$，$z = -2$

(4)$\displaystyle\begin{cases} 3x - 3y + z = 33 \\ 2x - 3y + 4z = 43 \\ 2x - 2y - z = 12 \end{cases}$

先消去 $z$：① $\times 4$ 与 ② $\times 1$ 相减，得

$$10x - 9y = 89$$

① $\times 1$ 与 ③ $\times 1$ 相加，得

$$5x - 5y = 45$$

得到关于 $x$、$y$ 的二元一次方程组，解得

$x = 8$

$y = -1$

再代回 ③（或任一式）得 $z = 6$。

三值代回原方程组检验。

$x = 8$，$y = -1$，$z = 6$

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小结

结构	优先策略
短方程链式相连	代入法一路代换
某一式缺某个未知数	另两式先消掉该未知数，再与缺元式联立
$x+y$、$y+z$、$z+x$	三式相加求总和，再相减
一般三元	消元降成二元，解完回代

解完把 $(x,y,z)$ 代回三个方程检验。二元解法见：10.2 消元。下一课：10.4 应用与复习。第十一章见 11.1 不等式。

自测

Quiz

解三元一次方程组

1 / 4

解三元一次方程组时，最核心的一步通常是？

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