10.3 综合练习

第十章练习：从「运货组合」「票价表」「上下坡时间」到「分段计价」「账目验算」。点「书题目」回到原题，点「随机」换数字反复练。

上一课练过常见骨架（总数 + 金额、两个加权和）。本课把书上的综合题拆开：有的先求中间量再代入所问；有的要去分母、整理方程；有的两个方程其实矛盾——答案是「账记错了」。

解法仍是：设 → 列 → 解 → 验 → 答。需要复习消元时，回到 10.2 消元。

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1. 大小货车：两组运量 → 求第三组

已知两种组合的运货量，先解出每辆大车、小车的运量，再代入「3 大 + 5 小」。

书题目对应：

$$\begin{cases} 2x + 3y = 15.5 \\ 5x + 6y = 35 \end{cases}$$

解得 $x=4$，$y=2.5$，故 $3x+5y=24.5$。

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2. 缆车票：人数 + 金额

往返票、单程票各若干张，总人数与总花费各给一个方程——经典代入法题型。

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3. 上坡 · 平路 · 下坡：求全程

去程走「上坡 + 平路」，回程走「下坡 + 平路」（同一段坡，方向反过来）。时间用小时（分钟 ÷ 60）列方程。

书题目：上坡 $30$、平路 $40$、下坡 $50$（km/h），$54$ min / $42$ min → 上坡 $15$ km、平路 $16$ km，全程 $31$ km。

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4. 化工厂：公路运费 + 铁路运费

原料吨数 $x$、成品吨数 $y$。公路、铁路各自的「吨·公里 × 运价 = 总运费」各成一个方程；解出质量后再算「销售收入 −（原料费 + 运费）」。

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5. 解方程组（含整理与去分母）

先把第二个方程整理成标准形，或两边乘公倍数去掉分数，再代入 / 消元。

书题目（1）

$$\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 5y - 1 = 3x + 5 \end{cases}$$

整理得 $-3x + 5y = 6$，与第一式联立，解为 $x=\dfrac{31}{12}$，$y=\dfrac{11}{4}$。

书题目（2）

$$\begin{cases} \dfrac{2}{3}x + \dfrac{3}{4}y = \dfrac{17}{12} \\[0.4em] \dfrac{1}{6}x - \dfrac{1}{2}y = -\dfrac{1}{3} \end{cases}$$

去分母后得 $8x+9y=17$，$x-3y=-2$，解为 $x=1$，$y=1$。

解下列方程组

含「先整理」或「先去分母」的两道书题风格

(1)$\displaystyle\begin{cases} \dfrac{2}{3}x + \dfrac{3}{4}y = \dfrac{17}{12} \\ \dfrac{1}{6}x - \dfrac{1}{2}y = -\dfrac{1}{3} \end{cases}$

两边同乘分母的最小公倍数去分母。① $\times 12$，② $\times 6$：

$$8x + 9y = 17$$

$$x - 3y = -2$$

由 ②' 得 $x = 3y - 2$，代入 ①'：

$$8(3y - 2) + 9y = 17$$

$$24y - 16 + 9y = 17$$

$$33y = 33$$

$y = 1$

得 $x = 1$

$x = 1$，$y = 1$

(2)$\displaystyle\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 5y - 1 = 3x + 5 \end{cases}$

先整理第二个方程：把已知数移到右边、未知数移到左边。

$$5y - 1 = 3x + 5$$

$$-3x + 5y = 6$$

与第一个方程 $3x - y = 5$ 联立。由 ① 得 $y = 3x - 5$，代入：

$$-3x + 5(3x - 5) = 6$$

$$12x - 25 = 6$$

$$12x = 31$$

$x = \dfrac{31}{12}$

代入得 $y = 3\cdot\dfrac{31}{12} - 5 = \dfrac{11}{4}$

$x = \dfrac{31}{12}$，$y = \dfrac{11}{4}$

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6. 两天徒步：求平均速度

路程 = 速度 × 时间。用「总路程」和「第一天比第二天少走多少」列方程组（也可先解两天路程，再除以时间）。

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7. 《算法统宗》：客房与房客

把文言题译成现代方程：「一房 $a$ 客多 $a$ 客」→ $y=ax+a$；「一房 $b$ 客一房空」→ $y=b(x-1)$。

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8. A / B 型机器人搬运量

「台数加权和」+「每台 A 比 B 多」——第二个方程已解出 $x$，直接代入。

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9. 草坪与等宽通道

长方形场地分成 $3\times 2$ 块相同草坪，夹着等宽通道。一块草坪两边成定比，列「长边方程 + 宽边方程」求通道宽。

书题目：$18\times 13$，比 $8:9$ → 通道宽 $1$ m。

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10. 展板 · 宣传册 · 横幅

宣传册件数是展板的倍数，三个量里其实只有两个未知数：时间方程 + 利润方程。问的是总件数。

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11. 毛笔：分段零售价

超过阈值的部分单价更低。先按规则写出两方案实付（含常数优惠项），再整理成关于零售价的二元一次方程组。

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12. 牙刷牙膏账目：是否有误？

若两天销量成同一比例，价格不变时收入也应成同一比例。比例对、收入不对 → 方程组矛盾，账有误。

书题目：牙刷 $39:52$、牙膏 $21:28$ 都是 $3:4$，收入应按比例为 $528$ 元，账上却是 $518$ 元。

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13. 自己编一道应用题

编一道符合实际意义的应用题，使未知数满足：

$$\begin{cases} 2x + 3y = 21 \\ 3x + 4y = 29 \end{cases}$$

（可先解出 $x=3$，$y=5$，再反过来编故事：例如「大杯 $2$ 杯、小杯 $3$ 杯共 $21$ 元……」。）

与同学交换题目，互相求解并检验。

编题小提示

• 两个方程要彼此独立（一个不是另一个的倍数），否则无唯一解。
• $x$、$y$ 取正数更符合「件数、人数、价钱」等实际意义。
• 编完后把解代回方程验算一遍。

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小结

题型	关键
两组组合 → 求第三组	先解 $x,y$，再代入所问线性式
票 / 徒步 / 机器人	总数或相差 + 加权和；或已解出一式直接代入
上下坡时间	去程、回程各一个时间方程；注意坡段速度不同
运费 / 展板利润	两个加权方程；问的可能是派生量（利润差、总件数）
分段计价	超量部分写成「零售价 − 优惠」，移项后成标准方程组
账目检验	系数成比例时看右边是否同比例；否则无解 → 记录有误
几何通道	用块数 × 草坪边 + 通道条数 × 宽 = 场地边长

自测

Quiz

二元一次方程组应用题练习

1 / 4

2 大车 + 3 小车运 15.5 t，5 大 + 6 小运 35 t。设大、小车每辆运 x、y 吨，要求 3 大 + 5 小的运量，正确做法是？

Pick an answer to see if you are right.

下一节：10.4 三元一次方程组的解法。