10.4 应用与复习

复习巩固练纯方程组；综合运用与拓广探索练「设 → 列 → 解 → 验」。需要降元手法时，回到 10.4 三元一次方程组的解法。全章小结见 小结：二元一次方程组。

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复习巩固 · 1. 解方程组

（1）已解出 y + 缺 y 的式

书题目：

$$\begin{cases} y = 2x - 7 \\ 5x + 3y + 2z = 2 \\ 3x - 4z = 4 \end{cases}$$

解为 $x=2$，$y=-3$，$z=\dfrac{1}{2}$。

代入已解出的未知数

先把 y 代入，再与缺 y 的方程联立

(1)$\displaystyle\begin{cases} y = -2x + 8 \\ 5x + 2y + z = \dfrac{29}{2} \\ 4x - 5z = -\dfrac{57}{2} \end{cases}$

① 已解出 $y$，代入 ②，得到只含 $x$、$z$ 的方程。

再与 ③（本就无 $y$）联立，求出 $x$、$z$，回代 ① 得 $y$。

解得 $x = -4$，$y = 16$，$z = \dfrac{5}{2}$。

$x = -4$，$y = 16$，$z = \dfrac{5}{2}$

(2)$\displaystyle\begin{cases} y = -2x - 4 \\ 2x + 4y + 3z = -58 \\ x - 4z = 21 \end{cases}$

① 已解出 $y$，代入 ②，得到只含 $x$、$z$ 的方程。

再与 ③（本就无 $y$）联立，求出 $x$、$z$，回代 ① 得 $y$。

解得 $x = 5$，$y = -14$，$z = -4$。

$x = 5$，$y = -14$，$z = -4$

(3)$\displaystyle\begin{cases} y = -x + 6 \\ 4x + 2y + 3z = \dfrac{37}{2} \\ 4x - z = \dfrac{33}{2} \end{cases}$

① 已解出 $y$，代入 ②，得到只含 $x$、$z$ 的方程。

再与 ③（本就无 $y$）联立，求出 $x$、$z$，回代 ① 得 $y$。

解得 $x = 4$，$y = 2$，$z = -\dfrac{1}{2}$。

$x = 4$，$y = 2$，$z = -\dfrac{1}{2}$

（2）三式循环缺元

书题目：

$$\begin{cases} 4x + 9y = 12 \\ 3y - 2z = 1 \\ 7x + 5z = \dfrac{19}{4} \end{cases}$$

解为 $x=-\dfrac{3}{4}$，$y=\dfrac{5}{3}$，$z=2$。

循环缺元

每一式各缺一个未知数，两两消元即可

(1)$\displaystyle\begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 4y - 3z = 10 \\ 6x + 2z = -2 \end{cases}$

三式分别缺 $z$、$x$、$y$。可先由 ①、② 消去 $y$（或用代入），再与 ③ 联立。

解得 $x = -1$，$y = 4$，$z = 2$。

$x = -1$，$y = 4$，$z = 2$

(2)$\displaystyle\begin{cases} 4x + 4y = 22 \\ 4y - 4z = 12 \\ 5x + 3z = \dfrac{21}{2} \end{cases}$

三式分别缺 $z$、$x$、$y$。可先由 ①、② 消去 $y$（或用代入），再与 ③ 联立。

解得 $x = \dfrac{3}{2}$，$y = 4$，$z = 1$。

$x = \dfrac{3}{2}$，$y = 4$，$z = 1$

(3)$\displaystyle\begin{cases} 4x + 6y = -6 \\ 5y - 2z = -3 \\ 6x + 4z = -2 \end{cases}$

三式分别缺 $z$、$x$、$y$。可先由 ①、② 消去 $y$（或用代入），再与 ③ 联立。

解得 $x = -3$，$y = 1$，$z = 4$。

$x = -3$，$y = 1$，$z = 4$

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复习巩固 · 2. 再练两组

（1）比例式 + 一个线性方程

书题目：$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}$，且 $2x-y+2z=27$。设公比 $k$，得 $x=6$，$y=9$，$z=12$。

比例代换

设公比 k，把三个未知数都写成 k 的倍数

(1)$\displaystyle\begin{cases} \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} \\ 3x - 2y + 2z = 40 \end{cases}$

设 $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = k$，则 $x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。

代入线性方程得 $k = 5$，从而 $x = 10$，$y = 15$，$z = 20$。

$x = 10$，$y = 15$，$z = 20$

(2)$\displaystyle\begin{cases} \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} \\ x + 2y + 2z = 42 \end{cases}$

设 $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = k$，则 $x=3k$，$y=4k$，$z=5k$。

代入线性方程得 $k = 2$，从而 $x = 6$，$y = 8$，$z = 10$。

$x = 6$，$y = 8$，$z = 10$

(3)$\displaystyle\begin{cases} \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} \\ 3x + 2y + 3z = 48 \end{cases}$

设 $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = k$，则 $x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。

代入线性方程得 $k = 2$，从而 $x = 4$，$y = 6$，$z = 8$。

$x = 4$，$y = 6$，$z = 8$

（2）一般三元

书题目解为 $x=-1$，$y=\dfrac{1}{2}$，$z=3$。

一般消元

化为二元一次方程组后回代

(1)$\displaystyle\begin{cases} 2x + 4y + 3z = 9 \\ 3x - 2y + 5z = 11 \\ 5x - 6y + 7z = 13 \end{cases}$

用加减消元法消去一个未知数（如先消 y），化为二元一次方程组。

$x = -1$

$y = \dfrac{1}{2}$

$z = 3$

$x = -1$，$y = \dfrac{1}{2}$，$z = 3$

(2)$\displaystyle\begin{cases} 2x + 4y + 3z = 9 \\ 3x - 2y + 5z = 11 \\ 5x - 6y + 7z = 13 \end{cases}$

用加减消元法消去一个未知数（如先消 y），化为二元一次方程组。

$x = -1$

$y = \dfrac{1}{2}$

$z = 3$

$x = -1$，$y = \dfrac{1}{2}$，$z = 3$

(3)$\displaystyle\begin{cases} 2x + 4y + 3z = 9 \\ 3x - 2y + 5z = 11 \\ 5x - 6y + 7z = 13 \end{cases}$

用加减消元法消去一个未知数（如先消 y），化为二元一次方程组。

$x = -1$

$y = \dfrac{1}{2}$

$z = 3$

$x = -1$，$y = \dfrac{1}{2}$，$z = 3$

混合复习

复习巩固混合卷

四种结构随机出现

(1)$\displaystyle\begin{cases} -2x + y - z = 7 \\ 3x - y + z = -5 \\ -3x - 2y + 3z = -32 \end{cases}$

先消去 $z$：① $\times 1$ 与 ② $\times 1$ 相加，得

$$x = 2$$

① $\times 3$ 与 ③ $\times 1$ 相加，得

$$-9x + y = -11$$

得到关于 $x$、$y$ 的二元一次方程组，解得

$x = 2$

$y = 7$

再代回 ③（或任一式）得 $z = -4$。

三值代回原方程组检验。

$x = 2$，$y = 7$，$z = -4$

(2)$\displaystyle\begin{cases} 2x + 4y + 3z = 9 \\ 3x - 2y + 5z = 11 \\ 5x - 6y + 7z = 13 \end{cases}$

用加减消元法消去一个未知数（如先消 y），化为二元一次方程组。

$x = -1$

$y = \dfrac{1}{2}$

$z = 3$

$x = -1$，$y = \dfrac{1}{2}$，$z = 3$

(3)$\displaystyle\begin{cases} 4x + 7y = -8 \\ 4y - 3z = -23 \\ 6x + 3z = 24 \end{cases}$

三式分别缺 $z$、$x$、$y$。可先由 ①、② 消去 $y$（或用代入），再与 ③ 联立。

解得 $x = \dfrac{3}{2}$，$y = -2$，$z = 5$。

$x = \dfrac{3}{2}$，$y = -2$，$z = 5$

(4)$\displaystyle\begin{cases} 2x + 4y + 3z = 9 \\ 3x - 2y + 5z = 11 \\ 5x - 6y + 7z = 13 \end{cases}$

用加减消元法消去一个未知数（如先消 y），化为二元一次方程组。

$x = -1$

$y = \dfrac{1}{2}$

$z = 3$

$x = -1$，$y = \dfrac{1}{2}$，$z = 3$

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综合运用 · 甲乙丙三个数

和、倍数差、比例——三个相等关系。

书题目：和为 35，甲的 2 倍比乙大 5，乙的 $\dfrac{1}{3}$ 等于丙的 $\dfrac{1}{2}$ → $10,\ 15,\ 10$。

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综合运用 · 求 $a,b,c$（平面式）

把三组 $(x,y,z)$ 代入 $z=ax+by+c$，得到关于 $a,b,c$ 的方程组。

书题目三点 $(1,2,8)$、$(2,1,5)$、$(-1,-1,4)$ → $a=-1$，$b=2$，$c=5$。

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综合运用 · 二次式 $y=ax^2+bx+c$

两点给出两个方程；「两处 $x$ 的 $y$ 相等」给出第三个（两边相减消掉 $c$）。

书题目：$x=1$ 时 $y=-2$；$x=-1$ 时 $y=20$；$x=\dfrac{3}{2}$ 与 $x=\dfrac{1}{3}$ 时 $y$ 相等 → $a=6$，$b=-11$，$c=3$。

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综合运用 · 三位数

设百、十、个位数字为未知数（注意是 0–9 的整数）。

书题目：十位是百位的 2 倍；$3\times$百位 − 个位 $=$ 十位的 $\dfrac{1}{4}$；各位和为 11 → 三位数 245。

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拓广探索 · 上坡、平路、下坡

全程一个方程；去程、回程各一个时间方程（回程时上坡段与下坡段对调）。

书题目：全程 $3.3$ km，速度 $3/4/5$ km/h，时间 $51$ min / $53.4$ min → 上坡 $1.2$ km、平路 $0.6$ km、下坡 $1.5$ km。

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小结

题型	设未知数	三个关系从哪来
纯方程组	$x,y,z$	题目直接给出
比例式	公比 $k$	比例 + 一个线性方程
甲乙丙 / 数位	三个量或三个数位	和、倍数、比例
待定系数	$a,b,c$	代入已知点 / 「函数值相等」
三段路程	上坡、平路、下坡长	总长 + 去程时间 + 回程时间

自测

Quiz

三元一次方程组应用与复习

1 / 4

已知 x/2 = y/3 = z/4，且 2x − y + 2z = 27。设公比为 k，正确代换是？

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