10.2 消元——解二元一次方程组

上一课是 10.1 二元一次方程组的概念。两个基本方法：代入法（把一个未知数换成含另一个的式子）和 加减消元法（两式乘倍数后相加或相减，消去一个未知数）。

二元一次方程组里有两个未知数、两个方程。目标是找到同时满足两个方程的一对值 $(x, y)$。

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一、代入法：已经解出了一个未知数

如果某一个方程长得像 $y = \ldots$ 或 $x = \ldots$，就直接把右边的式子代入另一个方程。

书题目示例

$$\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}$$

把 $y = 2x - 3$ 代入第二个方程：

$$3x + 2(2x - 3) = 8 \implies 3x + 4x - 6 = 8 \implies 7x = 14 \implies x = 2$$

再代回：$y = 2\cdot 2 - 3 = 1$。所以解是 $x = 2$，$y = 1$。

用代入法解下列方程组

① 式已解出 y（或很容易看出），直接代入 ②

(1)$\displaystyle\begin{cases} y = x + 3 \\ -3x + y = -1 \end{cases}$

① 式已经解出 $y$，直接代入 ② 式：

$$-3x + (x + 3) = -1$$

去括号、合并同类项：

$$-2x + 3 = -1$$

解得 $x = 2$

把 $x = 2$ 代入 ① 式：

$$y = 1\times(2) + 3 = 5$$

$x = 2$，$y = 5$

(2)$\displaystyle\begin{cases} y = x + 7 \\ -x + 2y = 8 \end{cases}$

① 式已经解出 $y$，直接代入 ② 式：

$$-x + 2(x + 7) = 8$$

去括号、合并同类项：

$$x + 14 = 8$$

解得 $x = -6$

把 $x = -6$ 代入 ① 式：

$$y = 1\times(-6) + 7 = 1$$

$x = -6$，$y = 1$

(3)$\displaystyle\begin{cases} y = -2x - 7 \\ -2x + 2y = -2 \end{cases}$

① 式已经解出 $y$，直接代入 ② 式：

$$-2x + 2(-2x - 7) = -2$$

去括号、合并同类项：

$$-6x - 14 = -2$$

解得 $x = -2$

把 $x = -2$ 代入 ① 式：

$$y = -2\times(-2) - 7 = -3$$

$x = -2$，$y = -3$

(4)$\displaystyle\begin{cases} y = -x + 5 \\ -4x + y = 20 \end{cases}$

① 式已经解出 $y$，直接代入 ② 式：

$$-4x + (-x + 5) = 20$$

去括号、合并同类项：

$$-5x + 5 = 20$$

解得 $x = -3$

把 $x = -3$ 代入 ① 式：

$$y = -1\times(-3) + 5 = 8$$

$x = -3$，$y = 8$

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二、代入法：先解出一个未知数

两个方程都是一般形式时，先选系数简单的那个（常见是某个系数为 $\pm 1$），解出其中一个未知数，再代入。

书题目示例

$$\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases}$$

由第一个方程得 $y = 2x - 5$，代入第二个：

$$3x + 4(2x - 5) = 2 \implies 11x = 22 \implies x = 2,\quad y = -1$$

用代入法解下列方程组

先从一式解出 y（或 x），再代入另一式

(1)$\displaystyle\begin{cases} -2x + y = -2 \\ 4x + 4y = 28 \end{cases}$

由 ① 式解出 $y$：

$$y = 2x - 2$$

代入 ② 式：

$$4x + 4(2x - 2) = 28$$

去括号、合并：

$$12x - 8 = 28$$

解得 $x = 3$

把 $x = 3$ 代入 $y = 2x - 2$，得 $y = 4$

$x = 3$，$y = 4$

(2)$\displaystyle\begin{cases} x - y = -10 \\ x - 5y = -34 \end{cases}$

由 ① 式解出 $y$：

$$y = x + 10$$

代入 ② 式：

$$x -5(x + 10) = -34$$

去括号、合并：

$$-4x - 50 = -34$$

解得 $x = -4$

把 $x = -4$ 代入 $y = x + 10$，得 $y = 6$

$x = -4$，$y = 6$

(3)$\displaystyle\begin{cases} -x + y = -1 \\ -x + 5y = 3 \end{cases}$

由 ① 式解出 $y$：

$$y = x - 1$$

代入 ② 式：

$$-x + 5(x - 1) = 3$$

去括号、合并：

$$4x - 5 = 3$$

解得 $x = 2$

把 $x = 2$ 代入 $y = x - 1$，得 $y = 1$

$x = 2$，$y = 1$

(4)$\displaystyle\begin{cases} -3x + y = 8 \\ 2x - y = -6 \end{cases}$

由 ① 式解出 $y$：

$$y = 3x + 8$$

代入 ② 式：

$$2x -(3x + 8) = -6$$

去括号、合并：

$$-x - 8 = -6$$

解得 $x = -2$

把 $x = -2$ 代入 $y = 3x + 8$，得 $y = 2$

$x = -2$，$y = 2$

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三、加减消元法：乘倍数后相加或相减

想法：让某一个未知数的系数变成相反数（或相等），两式相加（或相减）后那个未知数消失。

同一道书题目，也可以用加减消元：

$$\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases}$$

① × 4 得 $8x - 4y = 20$，再与 ② 相加：$11x = 22$，同样得到 $x = 2$，$y = -1$。

选哪种方法？

• 某一式已经解出、或某个系数是 $\pm 1$ → 优先代入法
• 两个未知数的系数都「差一点就能抵消」→ 优先加减消元法（先乘合适的倍数）

用加减消元法解下列方程组

必要时先乘倍数，使某一未知数系数相反（或相等），再相加/相减

(1)$\displaystyle\begin{cases} 3x - 2y = -20 \\ -2x - 3y = -4 \end{cases}$

为消去 $y$，先把 $y$ 的系数化为绝对值相同：① $\times 3$，② $\times 2$，得：

$$9x - 6y = -60$$

$$-4x - 6y = -8$$

两式相减，消去 $y$：

$$13x = -52$$

解得 $x = -4$

把 $x = -4$ 代入 ① 式 $3x - 2y = -20$，解得 $y = 4$

$x = -4$，$y = 4$

(2)$\displaystyle\begin{cases} 3x - 3y = -3 \\ 4x - 3y = -4 \end{cases}$

①、② 中 $y$ 的系数已经相等，两式直接相减：

$$-x = 1$$

解得 $x = -1$

把 $x = -1$ 代入 ① 式 $3x - 3y = -3$，解得 $y = 0$

$x = -1$，$y = 0$

(3)$\displaystyle\begin{cases} -3x - 4y = 34 \\ 2x + 4y = -28 \end{cases}$

①、② 中 $y$ 的系数已经互为相反数，两式直接相加：

$$-x = 6$$

解得 $x = -6$

把 $x = -6$ 代入 ① 式 $-3x - 4y = 34$，解得 $y = -4$

$x = -6$，$y = -4$

(4)$\displaystyle\begin{cases} -3x - 4y = -32 \\ -x + 3y = 11 \end{cases}$

为消去 $y$，先把 $y$ 的系数化为绝对值相同：① $\times 3$，② $\times 4$，得：

$$-9x - 12y = -96$$

$$-4x + 12y = 44$$

两式相加，消去 $y$：

$$-13x = -52$$

解得 $x = 4$

把 $x = 4$ 代入 ① 式 $-3x - 4y = -32$，解得 $y = 5$

$x = 4$，$y = 5$

(5)$\displaystyle\begin{cases} 4x + y = -21 \\ 4x - 3y = -33 \end{cases}$

为消去 $y$，先把 $y$ 的系数化为绝对值相同：① $\times 3$，得：

$$12x + 3y = -63$$

$$4x - 3y = -33$$

两式相加，消去 $y$：

$$16x = -96$$

解得 $x = -6$

把 $x = -6$ 代入 ① 式 $4x + y = -21$，解得 $y = 3$

$x = -6$，$y = 3$

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小结

方法	做法	典型情形
代入法	解出一未知数 → 代入另一式	已有 $y=\ldots$，或系数含 $\pm 1$
加减消元法	乘倍数 → 相加或相减消去	系数容易配成相反数

解完务必代回检验，确认两个方程都成立。下一课：10.3 实际问题与二元一次方程组。

自测

Quiz

解二元一次方程组

1 / 3

方程组 { y = 2x − 3 ; 3x + 2y = 8 } 用代入法时，第一步应该做什么？

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