解不等式

改编自： 人教版《义务教育教科书·数学》八年级 第十一章 11.1.2 例 3。上一课是 11.1.2 不等式的性质。

与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为 x > m 或 x < m（m 为常数）的形式。

例 3

利用不等式的性质解下列不等式：

还可以在数轴上直观地表示例 3 中不等式的解集。

(1) 不等式 x − 7 > 26 的解集是 x > 33。空心圆圈在 33，射线向右。

(2) 不等式 3x < 2x + 1 的解集是 x < 1。空心圆圈在 1，射线向左。

(3) 的解集是 x > 75。空心圆圈在 75，射线向右。

(4) 的解集是 x < −3/4。空心圆圈在 −3/4，射线向左。

怎么判断用哪条性质

先看不等式离 x > m 或 x < m 还差哪一步。

• 一边多了一个常数，就两边加上它的相反数，用性质 1，方向不变。
• 一边多了含 x 的项，就两边减去这一项，仍用性质 1，方向不变。
• 系数是正数，两边乘或除以这个正数，用性质 2，方向不变。
• 系数是负数，两边乘或除以这个负数，用性质 3，方向改变。

只含「>」或「<」时，端点使不等式变成等式，解集不包含端点，数轴上用空心圆圈。写成「≤」或「≥」时，端点包含在解集里，用实心圆圈。

练习

1. 看数轴写解集

关于 x 的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出相应的解集。

(1) 实心圆圈在 −2，射线向右，解集是 x ≥ −2。

(2) 空心圆圈在 3，射线向左，解集是 x < 3。

(3) 左端 −1 是空心圆圈，右端 4 是实心圆圈，只取两端之间的数，解集是 −1 < x ≤ 4。

下面互动题先给书上这三幅图；点「随机」可换成另外几组：空心射线、闭区间、半开区间等。

2. 解不等式并在数轴上表示解集

(1) x + 5 > −1。根据性质 1，两边减 5，方向不变，所以 x > −6。空心圆圈在 −6，射线向右。

(2) 4x < 3x + 5。根据性质 1，两边减 3x，方向不变，所以 x < 5。空心圆圈在 5，射线向左。

(3) (1/7)x ≤ 6/7。根据性质 2，两边乘 7，方向不变，而且原来带等号，所以 x ≤ 6。实心圆圈在 6，射线向左。

(4) −8x > 10。根据性质 3，两边除以 −8，方向改变，所以 x < −5/4。空心圆圈在 −5/4，射线向左。

3. 用不等式表示气温范围

某日北京的最低气温是 19 °C，最高气温是 28 °C，用不等式表示这天的气温 t（单位：°C）的变化范围。

最低 19 °C 表示 t 不小于 19，最高 28 °C 表示 t 不大于 28。最低、最高都取到，所以

$$19 \leqslant t \leqslant 28.$$

自测

Quiz

例 3 解不等式

1 / 4

解 x − 7 > 26，依据哪条性质？

Pick an answer to see if you are right.

下一课是 习题 11.1。