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小结：二元一次方程组

人教版八年级第十章小结与复习题（复习巩固 1–5）。上一课是 10.4 应用与复习。下一章从 11.1 不等式 开始。

前面各课：10.1 概念 · 10.2 消元 · 10.3 实际问题 · 10.3 综合练习 · 10.4 解法 · 10.4 应用与复习。

一、本章知识结构图​

二元一次方程组
├─ 有关概念
│   ├─ 二元一次方程：两个未知数，含未知数的项的次数都是 1
│   ├─ 二元一次方程组：两个二元一次方程组成
│   └─ 解：使每个方程都成立的一组未知数的值
├─ 解法：消元（化归）
│   ├─ 代入消元法：先解出一个未知数，再代入另一个方程
│   ├─ 加减消元法：乘倍数后相加或相减，消去一个未知数
│   └─ 三元：先消成二元，再化成一元，然后回代
└─ 实际问题
    找相等关系 → 设未知数 → 列方程组 → 解 → 检验是否符合题意

二、回顾与思考​

本章通过实际问题引入了二元一次方程（组），学习了代入消元法和加减消元法，并用二元一次方程组解决了一些实际问题。在此基础上，又学习了简单的三元一次方程组及其解法。

消元是解二（三）元一次方程组的基本思想。根据方程组的具体情况，利用代入消元法或加减消元法，把「三元」转化为「二元」，把「二元」转化为「一元」。这一过程体现了化归思想。通过解这些方程组，运算能力也得到提升。

二（三）元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型。用它解决实际问题时，要分析各种数量关系，找出相等关系，引进适当的未知数，列出方程组，解方程组并检验解的意义。

请带着下面的问题复习全章：

  1. 什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？什么是二（三）元一次方程组？什么是二（三）元一次方程组的解？
  2. 举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组。「代入」与「加减」的目的是什么？
  3. 解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系与区别？「消元」在三元方程组中怎样体现？
  4. 提出一个实际问题，并用二元或三元一次方程组解决它。用方程组解决实际问题的基本思路是什么？
四个问题的要点
  1. 二元一次方程含两个未知数，含未知数的项次数都是 1。它的解是一对使方程成立的值，通常有无数组。方程组的解必须同时满足每一个方程。
  2. 「代入」和「加减」都是为了消去一个未知数，把方程组化成一元方程。
  3. 解三元与解二元的方法相同，只是多一步：先消成二元一次方程组，再消成一元，最后回代。
  4. 基本思路：找相等关系 → 设未知数 → 列方程组 → 解 → 检验是否符合实际。

复习题 10 · 复习巩固​

1. 用代入法解下列方程组​

（1）两式都已解出同一个未知数，右边相等即可。

{a=2b+3a=3b+20\begin{cases} a = 2b + 3 \\ a = 3b + 20 \end{cases}

由 2b+3=3b+202b + 3 = 3b + 20，得 b=−17b = -17，a=−31a = -31。

（2）第二式已解出 xx，直接代入。

{x−y=13x=6y−7\begin{cases} x - y = 13 \\ x = 6y - 7 \end{cases}

6y−7−y=136y - 7 - y = 13，5y=205y = 20，所以 y=4y = 4，x=17x = 17。

（3）先从第一式解出 xx，再代入。

{x−y=44x+2y=−1\begin{cases} x - y = 4 \\ 4x + 2y = -1 \end{cases}

x=y+4x = y + 4，4(y+4)+2y=−14(y + 4) + 2y = -1，6y=−176y = -17，所以 y=−176y = -\dfrac{17}{6}，x=76x = \dfrac{7}{6}。

（4）从第一式解出 yy，再代入。

{5x−y=1109y−x=110\begin{cases} 5x - y = 110 \\ 9y - x = 110 \end{cases}

y=5x−110y = 5x - 110，9(5x−110)−x=1109(5x - 110) - x = 110，44x=110044x = 1100，所以 x=25x = 25，y=15y = 15。

代入法练习

先消成一个未知数，再回代
(1){x−y=−23x=6y−3\displaystyle\begin{cases} x - y = -23 \\ x = 6y - 3 \end{cases}
② 已解出 xx，代入 ①：
6y−3−y=−236y - 3 - y = -23
5y=−205y = -20
解得 y=−4y = -4，再代回 ② 得 x=−27x = -27。
x=−27x = -27，y=−4y = -4
(2){4x−y=434y−x=8\displaystyle\begin{cases} 4x - y = 43 \\ 4y - x = 8 \end{cases}
由 ① 解出 y=4x−43y = 4x - 43，代入 ②：
4(4x−43)−x=84(4x - 43) - x = 8
解得 x=12x = 12，再代回得 y=5y = 5。
x=12x = 12，y=5y = 5
(3){x−y=35x+4y=51\displaystyle\begin{cases} x - y = 3 \\ 5x + 4y = 51 \end{cases}
由 ① 得 x=y+3x = y + 3，代入 ②：
5(y+3)+4y=515(y + 3) + 4y = 51
合并后解出 yy，再代回求 xx。
解得 x=7x = 7，y=4y = 4。
x=7x = 7，y=4y = 4
(4){3x−y=136y−x=58\displaystyle\begin{cases} 3x - y = 13 \\ 6y - x = 58 \end{cases}
由 ① 解出 y=3x−13y = 3x - 13，代入 ②：
6(3x−13)−x=586(3x - 13) - x = 58
解得 x=8x = 8，再代回得 y=11y = 11。
x=8x = 8，y=11y = 11

2. 用加减法解下列方程组​

（1）bb 的系数互为相反数，两式相加。

{3m+b=11−4m−b=11\begin{cases} 3m + b = 11 \\ -4m - b = 11 \end{cases}

相加得 −m=22-m = 22，所以 m=−22m = -22，b=77b = 77。

（2）yy 的系数相同，两式相减。先也可以同乘 5，化成整数系数。

{0.6x−0.4y=1.10.2x−0.4y=2.3\begin{cases} 0.6x - 0.4y = 1.1 \\ 0.2x - 0.4y = 2.3 \end{cases}

相减得 0.4x=−1.20.4x = -1.2，所以 x=−3x = -3，y=−294y = -\dfrac{29}{4}。

（3）把第二式看成 −4f+3g=−3-4f + 3g = -3，与第一式相加消去 ff。

{4f+g=153g−4f=−3\begin{cases} 4f + g = 15 \\ 3g - 4f = -3 \end{cases}

相加得 4g=124g = 12，所以 g=3g = 3，f=3f = 3。

（4）xx 的系数相同，两式相减。

{0.5x+3y=−60.5x+y=2\begin{cases} 0.5x + 3y = -6 \\ 0.5x + y = 2 \end{cases}

相减得 2y=−82y = -8，所以 y=−4y = -4，x=12x = 12。

加减消元练习

系数相反就相加，系数相同就相减
(1){3f+g=−103g−3f=18\displaystyle\begin{cases} 3f + g = -10 \\ 3g - 3f = 18 \end{cases}
第二式已写成 3g−3f=183g - 3f = 18，与 ① 相加可以消去 ff：
4g=84g = 8
解得 g=2g = 2，代入 ① 得 f=−4f = -4。
f=−4f = -4，g=2g = 2
(2){5x+3y=−23−3x−3y=15\displaystyle\begin{cases} 5x + 3y = -23 \\ -3x - 3y = 15 \end{cases}
yy 的系数互为相反数，两式相加消去 yy：
2x=−82x = -8
解得 x=−4x = -4，代入 ① 得 y=−1y = -1。
x=−4x = -4，y=−1y = -1
(3){3f+g=74g−3f=−17\displaystyle\begin{cases} 3f + g = 7 \\ 4g - 3f = -17 \end{cases}
第二式已写成 4g−3f=−174g - 3f = -17，与 ① 相加可以消去 ff：
5g=−105g = -10
解得 g=−2g = -2，代入 ① 得 f=3f = 3。
f=3f = 3，g=−2g = -2
(4){4f+g=−164g−4f=−4\displaystyle\begin{cases} 4f + g = -16 \\ 4g - 4f = -4 \end{cases}
第二式已写成 4g−4f=−44g - 4f = -4，与 ① 相加可以消去 ff：
5g=−205g = -20
解得 g=−4g = -4，代入 ① 得 f=−3f = -3。
f=−3f = -3，g=−4g = -4

3. 先去括号，再解方程组​

（1）

{4(x−y−1)=3(1−y)−2x2+y3=2\begin{cases} 4(x - y - 1) = 3(1 - y) - 2 \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 2 \end{cases}

去括号得 4x−y=54x - y = 5。第二式去分母得 3x+2y=123x + 2y = 12。解得 x=2x = 2，y=3y = 3。

（2）

{2(x−y)3−x+y4=−16(x+y)−4(2x−y)=16\begin{cases} \dfrac{2(x - y)}{3} - \dfrac{x + y}{4} = -1 \\ 6(x + y) - 4(2x - y) = 16 \end{cases}

第一式乘 12，得 5x−11y=−125x - 11y = -12。第二式去括号得 −2x+10y=16-2x + 10y = 16。解得 x=2x = 2，y=2y = 2。

去括号后再消元

先化成 ax + by = c，再代入或加减
(1){2(x−y)=2(x+y)−16x+y=1\displaystyle\begin{cases} 2(x - y) = 2(x + y) - 16 \\ x + y = 1 \end{cases}
先去括号：
2x−2y=2x+2y−162x - 2y = 2x + 2y - 16
移项合并后，与 x+y=1x + y = 1 联立。
解得 x=−3x = -3，y=4y = 4。
x=−3x = -3，y=4y = 4
(2){4(x−y)=3(x+y)−23x+y=1\displaystyle\begin{cases} 4(x - y) = 3(x + y) - 23 \\ x + y = 1 \end{cases}
先去括号：
4x−4y=3x+3y−234x - 4y = 3x + 3y - 23
移项合并后，与 x+y=1x + y = 1 联立。
解得 x=−2x = -2，y=3y = 3。
x=−2x = -2，y=3y = 3
(3){2(x−y)=3(x+y)−11x+y=−1\displaystyle\begin{cases} 2(x - y) = 3(x + y) - 11 \\ x + y = -1 \end{cases}
先去括号：
2x−2y=3x+3y−112x - 2y = 3x + 3y - 11
移项合并后，与 x+y=−1x + y = -1 联立。
解得 x=−4x = -4，y=3y = 3。
x=−4x = -4，y=3y = 3

4. 解三元一次方程组​

先消去一个未知数，化成二元一次方程组，再回代。

（1）

{3x−y+z=32x+y−3z=11x+y+z=12\begin{cases} 3x - y + z = 3 \\ 2x + y - 3z = 11 \\ x + y + z = 12 \end{cases}

①、② 相加消去 yy，得 5x−2z=145x - 2z = 14。由 ③ 得 y=12−x−zy = 12 - x - z，代入 ① 得 4x+2z=154x + 2z = 15。两式相加得 9x=299x = 29，所以

x=299,y=13918,z=1918.x = \dfrac{29}{9},\quad y = \dfrac{139}{18},\quad z = \dfrac{19}{18}.

（2）

{5x−4y+4z=132x+7y−3z=193x+2y−z=18\begin{cases} 5x - 4y + 4z = 13 \\ 2x + 7y - 3z = 19 \\ 3x + 2y - z = 18 \end{cases}

由 ③ 得 z=3x+2y−18z = 3x + 2y - 18，代入 ①、②，解得 x=5x = 5，y=0y = 0，z=−3z = -3。

三元消元练习

先消成二元，再消成一元，最后回代
(1){2x+2y+2z=−82x−2y+2z=42x−3y−z=13\displaystyle\begin{cases} 2x + 2y + 2z = -8 \\ 2x - 2y + 2z = 4 \\ 2x - 3y - z = 13 \end{cases}
①、② 中 yy 的系数互为相反数，相加消去 yy，得到关于 xx、zz 的方程。
再与 ③ 联立，化成二元一次方程组，求出 xx、zz 后再回代求 yy。
解得 x=1x = 1，y=−3y = -3，z=−2z = -2。
x=1x = 1，y=−3y = -3，z=−2z = -2
(2){−x−3y+z=12−4x+3y−2z=−48x−y−2z=−2\displaystyle\begin{cases} -x - 3y + z = 12 \\ -4x + 3y - 2z = -48 \\ x - y - 2z = -2 \end{cases}
①、② 中 yy 的系数互为相反数，相加消去 yy，得到关于 xx、zz 的方程。
再与 ③ 联立，化成二元一次方程组，求出 xx、zz 后再回代求 yy。
解得 x=6x = 6，y=−4y = -4，z=6z = 6。
x=6x = 6，y=−4y = -4，z=6z = 6
(3){3x−2y+z=5x+2y−z=7−3x+y−2z=−16\displaystyle\begin{cases} 3x - 2y + z = 5 \\ x + 2y - z = 7 \\ -3x + y - 2z = -16 \end{cases}
①、② 中 yy 的系数互为相反数，相加消去 yy，得到关于 xx、zz 的方程。
再与 ③ 联立，化成二元一次方程组，求出 xx、zz 后再回代求 yy。
解得 x=3x = 3，y=5y = 5，z=6z = 6。
x=3x = 3，y=5y = 5，z=6z = 6

5. 两座仓库存粮​

1 号仓库与 2 号仓库共存粮 450 t。现从 1 号仓库运出存粮的 60%，从 2 号仓库运出存粮的 40%，结果 2 号仓库剩余粮食比 1 号仓库剩余粮食多 30 t。原来各存粮多少吨？

设 1 号原来存粮 xx t，2 号原来存粮 yy t。

{x+y=4500.6y−0.4x=30\begin{cases} x + y = 450 \\ 0.6y - 0.4x = 30 \end{cases}

解得 x=240x = 240，y=210y = 210。检验：1 号剩 0.4×240=960.4 \times 240 = 96 t，2 号剩 0.6×210=1260.6 \times 210 = 126 t，差 30 t。

综合运用​

6. 记号笔和中性笔​

王芳花 19 元买了若干支记号笔和中性笔。记号笔 5 元/支，中性笔 3 元/支。各买了多少支？

题目只给了金额，没有总支数。设记号笔 x 支、中性笔 y 支，则 5x + 3y = 19，且 x、y 是非负整数。x 只能是 0、1、2、3。只有 x = 2 时，剩下 9 元正好是 3 的倍数，所以 y = 3。

记号笔 2 支，中性笔 3 支。

7. 阶梯水价​

每户每月用水不超过 12 m³ 时按一级单价收费，超出部分按二级单价收费。张家用水 14 m³，缴费 37.6 元；李家用水 17 m³，缴费 47.2 元。一级、二级单价各是多少？

设一级单价 x 元/m³，二级单价 y 元/m³。

{12x+2y=37.612x+5y=47.2\begin{cases} 12x + 2y = 37.6 \\ 12x + 5y = 47.2 \end{cases}

两式相减得 3y = 9.6，所以 y = 3.2，x = 2.6。

一级 2.6 元/m³，二级 3.2 元/m³。

8. 两种摆件的零售价​

第 1 个月售出冰墩墩 100 件、雪容融 40 件，销售额 12320 元。第 2 个月售出冰墩墩 160 件、雪容融 60 件，销售额 19360 元。两种摆件的零售价各是多少？

设冰墩墩 x 元/件，雪容融 y 元/件。

{100x+40y=12320160x+60y=19360\begin{cases} 100x + 40y = 12320 \\ 160x + 60y = 19360 \end{cases}

化简后用加减消元，解得 x = 88，y = 88。

冰墩墩 88 元/件，雪容融 88 元/件。

9. 环形路跑步​

甲、乙以不变的速度在环形路上跑。同时同地出发，反向每隔 2 min 相遇一次；同向每隔 6 min 相遇一次。甲比乙快。两人跑一圈各要多少分钟？

设甲跑一圈要 x min，乙要 y min。反向是速度相加，同向是速度相减：

{1x+1y=121x−1y=16\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6} \end{cases}

两式相加得 2/x = 2/3，所以 x = 3。两式相减得 2/y = 1/3，所以 y = 6。

甲跑一圈 3 min，乙跑一圈 6 min。

10. 大小容器​

《九章算术》：5 个大容器和 1 个小容器共容 3 斛，1 个大容器和 5 个小容器共容 2 斛。大、小容器各容多少斛？

设大容器 x 斛，小容器 y 斛。

{5x+y=3x+5y=2\begin{cases} 5x + y = 3 \\ x + 5y = 2 \end{cases}

第二式乘 5 再减去第一式，得 24y = 7，所以 y = 7/24，x = 13/24。

大容器 13/24 斛，小容器 7/24 斛。

拓广探索​

11. 取出硬币​

现有 1 角、5 角、1 元硬币各 10 枚。从中取出 15 枚，共值 7 元。三种硬币各取出多少枚？

设取出 1 角 a 枚、5 角 b 枚、1 元 c 枚。则 a + b + c = 15，0.1a + 0.5b + c = 7，且都不超过 10。由两式消去 a，得 4b + 9c = 55。在 0 到 10 里试 c，只有 c = 3，b = 7，a = 5。

1 角 5 枚，5 角 7 枚，1 元 3 枚。

12. 两种型号的电脑​

A 型每台 6000 元，B 型每台 4000 元，C 型每台 2500 元。现有资金 100500 元，计划全部用于购进 36 台两种型号的电脑。可以怎样买？

只买两种，共 36 台，且正好花完。A 与 B 搭配时，总价凑不出 100500 元。

A 与 C：设 A 型 n 台，则 6000n + 2500(36 − n) = 100500，得 n = 3。所以 A 型 3 台，C 型 33 台。

B 与 C：设 B 型 n 台，则 4000n + 2500(36 − n) = 100500，得 n = 7。所以 B 型 7 台，C 型 29 台。

两种方案：A 型 3 台、C 型 33 台；或 B 型 7 台、C 型 29 台。

小结​

题方法书上的解
1（1）两边相等，代入a=−31a = -31，b=−17b = -17
1（2）直接代入已解出的 xxx=17x = 17，y=4y = 4
1（3）先解出 xx 再代入x=7/6x = 7/6，y=−17/6y = -17/6
1（4）先解出 yy 再代入x=25x = 25，y=15y = 15
2（1）系数相反，相加m=−22m = -22，b=77b = 77
2（2）系数相同，相减x=−3x = -3，y=−29/4y = -29/4
2（3）整理后相加f=3f = 3，g=3g = 3
2（4）系数相同，相减x=12x = 12，y=−4y = -4
3（1）去括号、去分母x=2x = 2，y=3y = 3
3（2）去分母、去括号x=2x = 2，y=2y = 2
4（1）三元消元x=29/9x = 29/9，y=139/18y = 139/18，z=19/18z = 19/18
4（2）三元消元x=5x = 5，y=0y = 0，z=−3z = -3
5总量 + 剩余差1 号 240 t，2 号 210 t
6金额 + 非负整数记号笔 2 支，中性笔 3 支
7定额内相同，超出相减一级 2.6 元，二级 3.2 元
8两个月销量联立都是 88 元/件
9速度相加、相减甲 3 min，乙 6 min
10两组容量大 13/24 斛，小 7/24 斛
11枚数 + 金额 + 不超过库存1 角 5 枚，5 角 7 枚，1 元 3 枚
12只买两种且正好花完A 3 与 C 33；或 B 7 与 C 29