6.1 几何图形
改编自： 人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册 第六章 6.1 节——从身边的图形出发，认识几何研究什么，以及什么是几何图形。
从古朴的特色民居到宏伟的城市建筑，从街头巷尾的交通标志到四通八达的立交桥，从古老的剪纸艺术到现代的城市雕塑，从自然界形态各异的生物到北京 2022 年冬奥会标志……图形世界多姿多彩。
这些事物看起来很不一样，但都可以从「形」的角度来观察。
几何研究什么？
各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质，还具有：
| 几何关心的方面 | 例子 |
|---|---|
| 形状 | 方的、圆的、三角的 |
| 大小 | 长度、面积、体积 |
| 位置关系 | 相交、垂直、平行 |
物体的形状、大小和位置关系，就是几何中研究的内容。颜色深浅、用什么材料做成，不是几何首先要回答的问题。
看到一个物体，先暂时忘掉颜色和材质，问自己：它是什么形状？有多大？它和旁边的图形怎样摆放（相交、垂直还是平行）？
什么是几何图形？
我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体外形中抽象出来的。它们都是几何图形（geometric figure）。几何图形是数学研究的主要对象之一。
可以粗粗分成两类：
| 类型 | 例子 | 直觉 |
|---|---|---|
| 平面图形 | 点、线段、三角形、四边形、圆 | 画在纸上，主要看周长、面积 |
| 立体图形 | 长方体、圆柱、圆锥、球 | 占据空间，还要看体积 |
冬奥会标志、交通标志、剪纸，常常先被看成平面图形；民居、立交桥、雕塑，则常常先被看成立体图形。同一件实物也可以从不同角度抽出不同的几何图形——例如一扇门可以看成长方形，门的边可以看成线段。
6.1.1 立体图形与平面图形
有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。棱柱、棱锥也是常见的立体图形。
- 包装盒、储物盒等，常常给我们棱柱的形象：有两个互相平行的 底面，侧面是长方形。
- 金字塔则给我们棱锥的形象：有一个多边形底面，侧面是三角形，交于一个顶点。
你还能再找出一些棱柱、棱锥的实例吗？例如粉笔盒、帐篷、屋顶、石碑。
有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。
| 立体图形 | 平面图形 | |
|---|---|---|
| 是否都在同一平面内 | 不都在 | 都在 |
| 常见例子 | 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥 | 线段、角、三角形、长方形、圆 |
虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。很多立体图形中的某些部分就是平面图形，例如长方体的侧面是长方形。
思考
图 6.1-4 的各图中包含哪些简单平面图形？请再举出一些平面图形的例子。
可以这样看图 6.1-4：
| 图 | 包含的简单平面图形 |
|---|---|
| 国旗 | 长方形、五角星 |
| 五环 | 五个圆 |
| 彩色拼块 | 若干三角形 |
| 橙色折纸 | 三角形、中间的正方形 |
| 花纹地砖 | 正方形、正八边形等多边形 |
| 禁止货车标志 | 圆、线段（斜杠），以及车身轮廓中的长方形 |
还可以再举：线段、角、平行四边形、梯形、扇形等。
练习
1. 几何研究其中的哪些性质？
2. 立体图形的表面中包含哪些平面图形？它们各在什么位置？（书题目对应上图从左到右：圆柱、圆锥、正方体、四棱锥、三棱柱。）
6.1.2 点、线、面、体
我们可以用简单图形构造出复杂图形，也可以把复杂图形转化为简单图形进行研究。构成图形的元素是什么？这些元素之间又存在着什么关系？
思考
图 6.1-11 是一个长方体。它有几个面？面和面相交的地方形成了几条棱？棱和棱相交成几个顶点？
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体也简称体。
包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。平静的水面给我们以平面的形象，而一些建筑物的屋顶则给我们以曲面的形象。还可以再举：桌面、黑板面是平面；球面、圆柱侧面、漏斗侧面是曲面。
可以拖动下面的模型，切换「看面 / 看棱 / 看顶点」：
夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，这些都给我们以线的形象。面和面相交的地方形成线。长方体 6 个面两两相交所成的 12 条棱（线）是直的，圆柱的侧面与底面相交所成的线是曲的（圆）。线和线相交的地方是点。长方体相邻的棱相交，得到 8 个顶点。
| 元素 | 怎样得到 | 长方体中 |
|---|---|---|
| 体 | 由面围成 | 整个长方体 |
| 面 | 包围着体 | 6 个面（平面） |
| 线（棱） | 面和面相交 | 12 条直棱 |
| 点 | 线和线相交 | 8 个顶点 |
天上的星星、世界地图上的城市等，都给我们以点的形象。线和线相交的地方是点。
如图 6.1-14（1），笔尖可以看作一个点。这个点在纸上运动时，就形成线；节日的焰火也可以看成由点运动形成的。这可以说点动成线。清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面（图 6.1-14（2）），这可以说线动成面。长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体（图 6.1-14（3）），这可以说面动成体。
几何图形都是由点、线、面、体组成的 ，点是构成图形的基本元素。一些庆祝活动的背景图案（图 6.1-15）也可以看作由点组成。
点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界。
练习
1. 围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？
2. 如图，上面的线分别按箭头所示方向平移或绕定点旋转，可以得出下面的平面图形。把有对应关系的线与平面图形用线连起来。
3. 如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形。把有对应关系的平面图形与立体图形用线连起来。
习题 6.1
复习巩固
1. 把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来。
小结
| 概念 | 含义 |
|---|---|
| 几何研究的内容 | 物体的形状、大小和位置关系 |
| 几何图形 | 从物体外形中抽象出来的图形 |
| 立体图形 | 各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱、棱柱、棱锥、球 |
| 平面图形 | 各部分都在同一平面内，如线段、三角形、圆 |
| 二者的联系 | 立体图形的面，常常就是平面图形 |
| 点、线、面、体 | 构成图形的元素：面围成体，面交成线，线交成点 |
| 运动变化 | 点动成线，线动成面，面动成体 |
| 暂时不纳入几何的性质 | 颜色、质量、材质等 |
自测
6.1 几何图形
1 / 6几何主要研究物体的哪些方面？
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