6.2 直线、射线、线段

改编自： 人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第六章 6.2 节。直线、射线、线段是基本几何图形，先分清它们的联系与区别，再学会用点和字母表示。上一课是 6.1 几何图形。

直线、射线、线段是基本的几何图形。小学里已经初步认识过它们。下面进一步看它们怎样确定、怎样表示，以及一个点在不在一条直线上。

6.2.1 直线、射线、线段

探究

经过一个点能画几条直线？经过两个点呢？

通过画图和思考，可以得到一个基本事实：

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

简单说成：两点确定一条直线。

日常生活和生产中常常用到这个事实。例如，砌墙时会在两个墙脚的位置分别固定一根木杆，然后拉一条直的参照线（图 6.2-1）；植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上。

$图 6.2-1 至图 6.2-4 两点确定一条直线，以及点与直线的位置$

因为两点确定一条直线，所以除了用一个小写字母表示直线（如直线 (l)），还经常用这条直线上的两个点来表示它（图 6.2-2）。

说法	也可以说成
点在直线上	这条直线经过这个点
点在直线外	这条直线不经过这个点

如图 6.2-2，直线 (AB) 或直线 (l)。如图 6.2-3，点 (O) 在直线 (l) 上，点 (P) 在直线 (l) 外。

如图 6.2-4，当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交（intersection），这个公共点叫作它们的交点。

线段、射线，以及延长

射线和线段都是直线的一部分。

	直线	射线	线段
端点	没有	1 个	2 个
延伸	两个方向都无限	向一个方向无限	不延伸，长度有限
表示	直线 (l)，或直线 (AB)（与直线 (BA) 相同）	射线 (OA)（端点写在前面），或射线 (l)	线段 (AB)（与线段 (BA) 相同），或线段 (a)

$图 6.2-5 至图 6.2-8 线段、射线与延长$

连接 (AB)：画出以 (A)、(B) 为端点的线段。
延长线段 (AB)：按从端点 (A) 到 (B) 的方向延长（图 6.2-7）。
延长线段 (BA)：按从端点 (B) 到 (A) 的方向延长。也可以说反向延长线段 (AB)（图 6.2-8）。

先看端点写在哪

射线 (AB) 的端点是 (A)，经过 (B) 再延伸。射线 (BA) 的端点是 (B)，不是同一条射线。线段 (AB) 和线段 (BA) 则是同一条。

练习

1. 判断题。

2. 按下列语句画出图形。

3. 用适当的语句表述图中点与直线的关系。

6.2.2 线段的比较与运算

不同于直线和射线，线段有长度，因而可以比较长短，并能进行一些运算。为了比较和运算，需要画一条线段等于已知线段。

画一条线段等于已知线段 (AB)，可以先用刻度尺量出 (AB) 的长度，再画一条等于这个长度的线段。也可以先用直尺画直线 (l)，再用圆规在直线 (l) 上截取 (CD = AB)（图 6.2-9）。数学里常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。

$图 6.2-9 至图 6.2-11 尺规作图与线段比较$

探究

怎样比较两条线段的长短？从比身高上可以受到启发：把它们“叠”在一起看。还可以再举：比较两支铅笔、两根跳绳、课桌的两条边。

比较两条线段，可用刻度尺分别量出长度，或者把其中一条移到另一条上作比较。移动时，通常使它们的一个端点重合。

在图 6.2-11 中，点 (A) 与点 (C) 重合，点 (B) 落在点 (C)、(D) 之间，这时说线段 (AB) 小于线段 (CD)，记作 (AB < CD)。

若点 (D) 落在 (C)、(B) 之间，则 (AB > CD)。
若点 (B) 与点 (D) 重合，则 (AB = CD)。

两点之间，线段最短

从 (A) 地到 (B) 地有好几条道路。把这些道路看成软线拉直，线段 (AB) 最短。

$图 6.2-12 至图 6.2-15 最短道路与线段的和、差$

两点的所有连线中，线段最短。 简单说成：两点之间，线段最短。

连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离（distance）。

线段的运算

在直线上作线段 (AB = a)，再在 (AB) 的延长线上作线段 (BC = b)，线段 (AC) 就是 (a) 与 (b) 的和，记作 (AC = a + b)。

设 (a > b)，如果在线段 (AB) 上作线段 (BD = b)，那么线段 (AD) 就是 (a) 与 (b) 的差，记作 (AD = a - b)。

点 (M) 把线段 (AB) 分成相等的两条线段 (AM) 与 (MB)，点 (M) 叫作线段 (AB) 的中点。类似地，还有三等分点、四等分点。在透明纸上画一条线段，折叠使两端点重合，折痕与线段的交点就是中点。

$图 6.2-16 中点与等分点，以及练习$

练习

1. 估计下列图中线段 (AB) 与 (AC) 的大小关系，再用刻度尺或圆规检验。

2. 已知线段 (a)、(b)，作一条线段，使它等于 (a + 2b)。作法见上面的「练习 2：作 (a + 2b)」。

3. 点 (M)、(N)、(P) 在同一条直线上，(MN = 3) cm，(NP = 1) cm。求线段 (MP) 的长。

习题 6.2

复习巩固

2. 读下列语句，并分别画出图形。

3. 用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；再钉一个钉子，木条就被固定。这说明什么？

4. 如图，点 (C)、(D) 在线段 (AB) 上，且 (AC = CB)，(CD = DB)。

$习题第 4、6 题$

综合运用

5. 已知线段 (AB)，延长 (AB) 至点 (C)，使 (BC) 等于 (AB) 的三分之一。(D) 是线段 (AC) 的中点。如果 (DC = 2)，那么 (AB) 的长为多少？

6. 如图（1），把原来弯曲的河道改直，(A)、(B) 两地间的河道长度有什么变化？如图（2），公园里修建了曲折迂回的桥。与修一座直的桥相比，修建弯曲的桥对游人观赏湖面风景起什么作用？

弯曲的河道改直以后，(A)、(B) 之间的河道变短，因为两点之间线段最短。曲折的桥比直桥更长，游人走的路程更长，可以有更多时间观赏湖面风景。道理仍是：连接两点的曲线比线段长。

7. (A)、(B)、(C) 是数轴上的三个点，点 (A) 表示数 3，且线段 (AB) 的长为 4，(C) 为 (AB) 的中点。点 (C) 表示的数是多少？

8. 已知线段 (a)、(b)、(c)，作一条线段，使它等于 (a + 2b - c)。作法见上面运算练习里的「习题 8：作 (a + 2b - c)」。

$习题第 8、9、10 题$

拓广探索

9. 一只蚂蚁从点 (A) 沿圆柱表面爬到它正上方的点 (B)。怎样爬行路线最短？如果要沿侧面爬一圈或两圈再到达 (B) 呢？

10. 两条直线相交，有一个交点。三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律？

小结

概念	含义
两点确定一条直线	经过两个点有一条直线，并且只有一条
经过一个点	可以画无数条直线
直线	没有端点，两个方向都无限；直线 (AB) 与直线 (BA) 相同
射线	直线的一部分，有一个端点；射线 (AB) 与射线 (BA) 不同
线段	直线的一部分，有两个端点；线段 (AB) 与线段 (BA) 相同
点与直线	在直线上 = 直线经过该点；在直线外 = 直线不经过该点
相交	两条不同直线有一个公共点，这个点叫交点
延长	延长 (AB) 是从 (A) 向 (B) 的方向；反向延长 (AB) 就是延长 (BA)
线段比较	量长度，或把一条移到另一条上，使一个端点重合
两点之间	线段最短；这条线段的长叫两点间的距离
线段运算	(AC = a + b)，(AD = a - b)；中点把线段分成相等的两段

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