改编自： 人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册 第五章 5.3 节——在原教材讲解思路基础上重新编写，并为每一类问题配上会随机出新题目的互动练习，可以反复练习、立刻看到按当前数据算出的答案。
方程是分析和解决实际问题的重要工具。用一元一次方程解决实际问题，通常要经过五个步骤：
设 未知数 → 列 方程（找出题目中的相等关系）→ 解 方程 → 检 验解是否符合实际 → 答 。
其中最关键的一步是"列"——把题目中一句看似普通的描述，翻译成一个等式。下面通过几类经典问题来练习这个翻译过程。每个练习都会随机换一套数字，你可以先自己列方程、算 出答案，再点开"显示解答"核对。
配套问题：找到那个"相等关系"
有些问题里，两种物品需要按一定比例搭配使用——比如螺栓和螺母。这类问题的关键在于：总人数被分成两部分，而这两部分产出的数量之间有一个已知的比例关系 ，这个比例就是列方程的依据。
如果安排 x 名工人生产螺栓，那么生产螺母的人数就是"总人数 − x"，而"螺母产量 = 配套倍数 × 螺栓产量"就是这道题的相等关系。
配套问题：螺栓与螺母 每人每天的产量和工人总数每次都随机生成——自己先列方程，再点开解答核对 某车间共有 17 名工人，每人每天可以生产 1170 个螺栓，或者 2080 个螺母。1 个螺栓需要配 2 个螺母。为使每天生产的螺栓和 螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
设应安排 x 名工人生产螺栓，则 (17 − x) 名工人生产螺母。
每天生产的螺母数量应是螺栓数量的 2 倍，列得方程：
2080 × (17 − x) = 2 × 1170 × x
解得 x = 8 ，进而 17 − x = 9 。
答：应安排 8 名工人生产螺栓，9 名工人生产螺母。
验算：1170 × 8 = 9360 个螺栓，需配 2 × 9360 = 18720 个螺母；2080 × 9 = 18720 个螺母，两者相等 ✓ 工程问题：把工作量看作 1
工程问题的技巧是把总工作量设为单位 1 ，于是"人均效率"就是 1 除以独自完成所需的时间。这样一来，"若干人工作若干小时完成的工作量"就等于 人均效率 × 人数 × 时间 ，而几段工作量加起来必须等于总工作量 1——这就是方程。
工程问题：整理图书 总时长、追加人数、两段工时都会随机变化 整理一批图书，由 1 人整理需要 86 h 完成。现计划由一部分人先整理 6 h，然后增加 4 人与他们一起再整理 5 h，恰好完成 这项工作。假设每人工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
把总工作量看作 1，一人一小时能完成 1/86。设先安排 x 人整理 6 h。
先安排 x 人整理 6 h 完成的工作量是 (6x)/86；增加 4 人后再整理 5 h 完成的工作量是 5(x + 4)/86。两段工作量之和等于总工作量 1：
6x/86 + 5(x + 4)/86 = 1
解得 x = 6 。答：应先安排 6 人进行整理。
不管题目讲的是螺栓螺母、修路、灌溉还是装配零件，列方程前都可以先问自己两个问题：题目中有哪两个量本应该相等？ 以及 设未知数之后，题目中的每一句话能不能翻译成含这个未知数的代数式？ 把这两步做完，方程往往就自然出现了。
销售中的盈亏：直觉容易骗人
一件商品加价 25% 卖出、另一件降价 25% 卖出，两件商品的售价相同 ，那总的是赚还是亏？很多人的第一反应是"抵消了，不赚不亏"——但这是错的，原因在于：盈利率和亏损率是相对于两件商品各自不同的进价而言的，而不是相 对于同一个进价 。要判断盈亏，必须先分别算出两件商品的进价，再比较总进价与总售价。
销售中的盈亏 两件衣服都按同一价格卖出，一件盈利、一件亏损，同样的百分比——总的是赚还是亏？ 一商店以每件 120 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25% ，另一件 亏损 25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
设盈利 25% 的那件衣服进价为 x 元，则 x + 25%x = 120，解得 x = 96 元。
设亏损 25% 的那件衣服进价为 y 元，则 y − 25%y = 120，解得 y = 160 元。
衣服 进价 / 元 售价 / 元 盈亏 / 元 盈利 25% 96 120 +24 亏损 25% 160 120 -40 合计 256 240 -16
总售价 − 总进价 = -16 元，所以卖这两件衣服共亏损 16 元。
可以证明：只要盈利率和亏损率大小相等（都是同一个百分数），总售价 − 总进价 = −2S·p²/(1−p²) 恒小于 0 ——不管 S 和 p 取什么值，"一件加价 p%、一件降价 p%" 卖出，总是亏损。 换几次数字就会发现一个规律：只要两件商品售价相同 ，一件盈利 p%、另一件亏损同样的 p%，结果永远是亏损 ，而且 p 越大亏得（相对）越多。这是因为亏损的那件商品，为了在打折后仍卖到同样的售价，它的进价必须比盈利商品的进价更高。
利润率不同、利润额相同：求进价
两种商品进价相差固定金额，但卖出后利润额相同 ——利润率却不同。列方程时，设进价较高者的成本为 x，则另一件为 x − 差价；再把"利润率 × 进价"写成两个相等的式子。
利润率相同利润额：求进价 商品种类、差价、利润率都会随机变化；答案始终为整数元 某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少 10 元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为 30%，每个大书包的利润率为 20%．试求两种书包的进价．
设大书包进价为 x 元，则小书包进价为 x − 10 元。
利润额相同：30% · (x − 10) = 20% · x，即
30(x − 10) = 20x
解得 x = 30 ，故小书包进价 = 20 元。
商品 进价 / 元 利润率 利润额 / 元 大书包 30 20% 6 小书包 20 30% 6
答：大书包进价 30 元，小书包进价 20 元。
先加价再打折：判断盈亏
商家常先把成本提高一定百分比作为标价，再打折出售。售价已知时，可以通过方程反推成本，再比较售价与成本判断盈亏。注意：加价后再打折，实际售价往往低于 成本。
先加价再打折：判断盈亏 商品、加价百分比、折扣与售价随机生成；成本与售价均为整数 一件商品按成本价提高 20% 后标价，再打八折销售，售价为 144 元。售出这件商品是盈利还是亏损？盈亏多少元？
设成本价为 x 元。标价 = x · (1 + 20%) = 1.2x； 打八折后售价 = 标价 × 0.8 = 0.96x。
0.96x = 144
解得 x = 150 元。
环节 金额 / 元 成本 150 标价（+20%） 180 售价（八折） 144 售价 − 成本 -6
售价 144 元与成本 150 元相比，亏损 6 元。
球赛积分表问题：用方程做推理判断
前面几个问题都是"求出一个具体数值"，这一类问题不太一样——它需要先从表格里的已知行反推出规则（胜一场、负一场各积多少分），再用这个规则去推理某种情况是否可能发生 。
球赛积分表问题 胜一场的分值、总场次、每队的胜负记录都会重新生成 下表是某次篮球联赛的积分情况，每队共赛 14 场。(1) 胜一场和负一场各积多少 分？(2) 用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的关系。(3) 某队的胜场总积分能 等于它的负场总积分吗？
队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14
(1) 钢铁 队 0 胜 14 负， 积 14 分，说明负一场积 1 分。 再看 前进 队：10 胜 4 负，积 24 分，列方程 10x + 4 × 1 = 24，解得胜一场积 2 分。
(2) 若一支球队胜 m 场，则负 (14 − m) 场，总积分 = m × 2 + (14 − m) × 1 = m × 1 + 14 。
(3) 胜场总积分等于负场总积分，即 m × 2 = (14 − m) × 1，解得 m = 4.67 。
m 必须是整数（场次不能是分数），但方程解出 m = 4.67 不是整数，所以没有哪支球队的胜场总积分能等于它的负场总积分。
这个问题说明：方程不仅能算出答案，还能帮你判断"某种情况能不能发生"。第 (3) 问解出的 m 如果不是整数，并不代表算错了，而恰恰说明——在场次和积分规则确定之后，"胜场总积分等于负场总积分"这件事本身就是不可能发生的。解出的未知数必须符合实际意义（这里是"必须是整数场次"），这一步检验和列方程本身同样重要。
足球不败：胜平积分
足球联赛常见规则是胜 3 分、平 1 分、负 0 分。若一支球队保持不败 ，负场就是 0，未知数就只剩胜场（平场 = 总场次 − 胜场）。用"积分方程"可求出胜平场数，再用方程判断"胜场总积分 = 平场总积分"是否可能。
足球不败：胜平积分 场次与积分随机生成；保持不败（负场为 0） 在足球联赛中，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分．某队 9 场比赛保持不败．（1）如果这支球队 9 场比赛得到的积分是 21 分，你能算出这 9 场比赛中的胜场数和平场数吗？（2）这支球队 9 场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？
不败 ⇒ 负场 = 0，设胜 w 场，则平 9 − w 场。
3w + 1(9 − w) = 21
解得 w = 6 ，平场 = 3 。
结果 场数 每场得分 小计 胜 6 3 18 平 3 1 3 负 0 0 0 合计 9 21
（2） 设胜场总积分等于平场总积分：
3m = 1(9 − m) ⇒ m = 2.25
m 必须是整数场次，但解出 m = 2.25 不是整数，所以不可能。
兴趣小组活动时间表
表格里七、八年级的总时间与次数齐全，可以先求出"文艺每次几小时、科技每次几小时"；九年级次数被遮成 ★，再用总时间列方程，并检验次数必须是非负整数 。
兴趣小组活动时间表 七、八年级数据可求每次时长；九年级次数用 ★ 表示，需列方程求出 下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同。 求九年级文艺小组与科技小组的活动次数（表中 ★）。
年级 课外小组活动总时间 / h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 ★ ★
设文艺小组每次活动 x 小时，科技小组每次 y 小时。同一兴趣小组各年级每次时长相同。
由七、八年级列方程组：
4x + 3y = 12.5
3x + 3y = 10.5
解得 x = 2.0 （文艺），y = 1.5 （科技）。
年级 文艺（次×时） 科技（次×时） 合计 / h 七年级 4 × 2 = 8 3 × 1.5 = 4.5 12.5 八年级 3 × 2 = 6 3 × 1.5 = 4.5 10.5
九年级总时间 7 h，设文艺 m 次、科技 n 次（非负整数）：
2m + 1.5n = 7
检验非负整数解得：m = 2 ，n = 2 。
九年级 次数 每次 / h 小计 / h 文艺 2 2 4 科技 2 1.5 3 合计 7
这些类问题用的是同一套方法：设未知数、找相等关系、列方程、解方程、检验结果是否合理。差别只在于"相等关系"藏在哪里——可能是配套比例，可能是工作量之和为 1，可能是总售价与总进价的比 较，也可能是表格里透露出的积分规则。多用上面的练习换几组数字，会比死记硬背例题更容易掌握这个"翻译"的直觉。
综合费用这类「买的时候付一笔、用的过程中还要继续付钱」的比较，见下一课：5.3 探究 3：综合费用比较 。课后练习见：5.3 复习巩固与综合运用 。
在"配套问题"中，如果车间共有 T 名工人，安排 x 名工人生产螺栓，那么生产螺母的人数应该怎样表示？
A 与 x 无关，是另一个独立的未知数 B T − x C x D T + x
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