阅读与思考：初步认识数学模型
改编自： 人教版七年级上册 第五章「阅读与思考」与随后的「数学活动」。先认识模型与方程，再用阶梯计价、杠杆平衡练习「抽象成方程 → 求解 → 回到实际」。
什么是模型呢？模型可以是按照一定比例缩小的实物，如建筑模型、船舶模型；也可以是从实际问题抽象出的数学式子或计算机程序。常见的有物理模型、数学模型、生物模型、计算机仿真模型等。
建立模型通常是为了用比较简单的方法去描述现实：通过研究简化了的模型，来把握现实世界的本质或规律。
具体到数学模型，就是要抽象出现实世界中事物或因素之间的关系，然后用数学来表示。常见形式有：
| 表示方式 | 例子 |
|---|---|
| 数学表达式 | 等式、不等式（数字、字母和符号组成） |
| 表格 | 两款空调的售价与年耗电量 |
| 图象 | 综合费用随使用年数变化的直线 |
| 框图 | 「设 → 列 → 解 → 检 → 答」 |
| 计算机程序 | 把同一套关系写成可反复计算的程序 |
方程是一类常见的数学模型
从初等数学里简单的代数方程（如一元一次方程），到高等数学中复杂的微分方程、积分方程，无论类型如何变化，方程模型本质上表示的都是一种相等关系：方程两边的式子，是对同一个事物从不同角度或不同方面的刻画。
因此，用方程模型解决现实问题时，关键是分析并找到现实问题中蕴含的相等关系。例如：
- 桌面木材与桌腿木材「刚好配成桌子」——两边件数配套；
- 降价后的「单价 × 销量」等于原来的销售总金额；
- 丢番图墓碑上各段年龄加起来等于他的寿命。
这些题的数字可以不同，模型结构是同一类。前面几课的练习，其实都是在建立并求解方程模型。
用数学模型解决实际问题的基本过程
我们已经知道如何利用一元一次方程解决实际问题。这个过程，也就是建立数学模型的基本过程：
-
构造数学模型
分析实际问题，明确其中蕴含的关系或规律，必要时作合理假设，把实际问题抽象成数学问题（数学模型）。 -
求解数学模型
解决数学问题本身——例如解出一个未知数，或找出两个一次式相等的交点。 -
用数学结论解释实际问题
结合实际意义检验解是否合理（必须是正数、必须是整数、必须落在题目规定的范围内……）。有时还要改进模型，才能得到真正能用的答案。
- 设、列：构造模型（假设 + 抽象出相等关系）
- 解：求解模型
- 检、答：回到实际，检验并解释
空调综合费用就是一个完整例子：先假设电价不变、年耗电量稳定，写出 ；再令两款费用相等求出交点；最后用「安全使用年限大约 10 年」解释：通常用超过 5 年，所以 1 级更划算。离开「年限」这个实际条件，单纯的方程解 并不能单独回答「买哪款」。
数学活动
活动 1：生活中的阶梯计价问题
居民生活用水通常按户计费。下表是某城市 居民生活用水的收费标准（户内人口不超过 4 人），这种收费方式称为阶梯计价。
注意：进入高一阶后，并不是全部用水量都按高价计费，只对超出上一阶的那一部分按高价计。
（3） 查阅资料，了解自己所在地区的城市居民生活用水收费标准。据此提出一些数学问题并加以解决。例如：某户年水费为多少元时，用水量刚好进入第二阶梯？某户年用水量为 m³ 时水费如何表示？
（4） 生活中还有电费、停车场、出租车等阶梯或分段计价。选一种本地标准，自己提出一个能用一元一次方程解决的问题，并写清「设 → 列 → 解 → 检 → 答」。
先列出各段的起止和单价，再给一个落在某一段里的总费用（或里程、时长），问对应的用量。解之前先用「上一阶封顶费用」判断落在哪一段。
活动 2：木杆挂重物问题
用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下面的实验：
- 在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点；
- 在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡；
- 在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点与木杆左右两边挂重物处的距离；
- 在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，再记录距离；
- 在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录。
根据记录可以发现：左边重物个数与它到支点的距离 的乘积保持不变，等于支点到右端的距离。
如图：木杆右端挂 1 个重物，支点左边挂 个重物，并使左右平衡。设木杆长为 cm，支点在中点，支点与左边挂重物处的距离为 cm。把 、 作为已知数，列出关于 的一元一次方程。
本章收束见：小结：一元一次方程。
小结
| 概念 | 含义 |
|---|---|
| 模型 | 用简化方式描述现实，便于研究本质或规律 |
| 数学模型 | 用表达式、表格、图象、框图或程序表示因素之间的关系 |
| 方程模型 | 用相等关系刻画同一事物的两个侧面 |
| 建模过程 | 抽象成数学问题 → 求解 → 结合实际检验并解释 |
自测
初步认识数学模型
1 / 5建立模型最主要的目的是什么？
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